Conférence : Grothendieck et les conjectures de Weil. La topologie étale des schémas

Le 27 mars 2025 de 17:00 à

La conférence se tiendra le jeudi 27 mars à 17h dans l'amphi L001. Massimo Pippi (LAREMA), chargé de recherche au CNRS , présentera  un exposé de vulgarisation à destination des étudiants à partir du L1.

Résumé : 

La géométrie algébrique est une branche de la mathématique qui étudie les formes géométriques définies par les solutions des systèmes de polynômes. Classiquement, ce signifie qu'on regarde les ensembles des solutions dans les corps des nombres réelles ou complexes. Toutefois, dans le cas d'un système de polynômes à coefficients entiers, on peu regarder les solutions dans d'autres corps tels que les corps finis (j'expliquerai ce que cela signifie).

Donc, en partant d'un système de polynômes à coefficients entiers on peut produire des ensembles de nature apparemment très différent. D'une part on a l'ensemble des solutions complexes, qui appartient au monde du continu. D'autre part, on a les ensembles des solutions dans les corps finis, qui par contre sont de nature discrète (il s'agit d'ensembles finis).

À la fin des années 1940 André Weil propose une série de conjectures spectaculaires qui mettent en évidence une relation profonde entre ces deux types d'objets différents, motivé par sa preuve de ces conjectures dans le "cas des courbes".
Il est clair depuis le début que la clef pour expliquer ce lien découvert par Weil aurait été de disposer d'une "théorie cohomologique pour les ensembles de solutions d'un polynôme dans un corps fini".

On savait définir une telle théorie pour les ensembles de solutions dans le corps des nombres complexes, en utilisant de façon essentielle leur "nature continue".
D'autre part, l'existence d'une telle théorie pour des objets de nature discrète est restée conjecturale jusqu'au moment où Alexander Grothendieck a introduit ce qu'aujourd'hui on appelle "topologies de Grothendieck". Il s'agit d'une vraie révolution : cette notion est aujourd'hui à la base de beaucoup de concepts et de techniques en géométrie algébrique, géométrie analytique, théorie des nombres, logique...

Dans cet exposé, j'introduirai le concept de topologie de Grothendieck. Plus précisément je parlerai de la topologie étale des schémas, en expliquant le rôle crucial qu'elle a joué dans la résolution des conjectures de Weil.